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王思越

我们生活在一个永远不可能准确理解，但又不得不有个“合理”解释的世界中。

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凸函數、Jensen 不等式與 Legendre 變換  

2008-08-03 10:31:38|  分类： 数学 |  标签： |举报 |字号大中小 订阅

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凸函數、Jensen 不等式與 Legendre 變換

林琦焜

一、前言

凸函數的出現絕非偶然，在古典力學中的動能 $E=frac{1}{2}mv^2$，就是最自然直接的凸函數，其他如熵 (entropy)……等皆是，當然從幾何的角度而言就是拋物線。近代分析由於受凸分析研究所得之進展的影響，使得在非線性分析，非線性微分方程皆有長足之進展與突破，其中較重要的就是逐漸將非線性 (nonlinearity) 視為一個體，而非只是線性化 (linearization) 而已。凸函數是如此地美麗且重要，而一般教科書只是提個定義然後定理之後便是習題。對於這樣的數學，我們實在不滿足地無法忍受，畢竟數學要教導我們聰明並學習如何去思考。因此本文秉持此原則，將著重於幾何與物理直觀，並與一些相關聯的領域作一些對應，以思索在我們前面的那些數學巨人是如何思考問題。

二、凸函數

我們從凸函數之定義開始

定義： f 為一定義在區間 $Isubseteq mathbf{R}$ 上之一實值函數 (real-valued function)

begin{displaymath}&10;f : I rightarrow mathbf{R}&10;end{displaymath}

若對任意的 $0 < lambda < 1$, $a,b in I$，f 滿足下式

begin{displaymath}&10;f(lambda a + (1-lambda) b) ; leq ; lambda f(a) + (1-lambda) f(b)&10;eqno{(1)}&10;end{displaymath}

則稱 f 為一凸函數 (convex function)。


凸函數、Jensen 不等式與 Legendre 變換 - hlwyjsh - 淡定
圖一

其幾何意義為連接 (a,f(a)),(b,f(b)) 兩點的弦，永遠在弧 y=f(x) 之上（圖一）。

利用分點公式我們可將(1)式表為下列之形式：

begin{displaymath}&10;begin{eqalign}&10;f(x) & leq frac{b-x}{b-a} f(a) + frac{x-a...&10;... &= f(b) + frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-b)&10;end{eqalign} eqno{(2)}&10;end{displaymath}


 

由(2)式可得

begin{eqnarray*}&10;&& f(x)-f(a)leqfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) &10;&& frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-x)leq f(b)-f(x)&10;end{eqnarray*}


即

begin{displaymath}&10;frac{f(x)-f(a)}{x-a} leq frac{f(b)-f(a)}{b-a}&10;leq frac{f(b)-f(x)}{b-x}&10;eqno{(3)}&10;end{displaymath}


 


凸函數、Jensen 不等式與 Legendre 變換 - hlwyjsh - 淡定
圖二

其幾何意義從圖形上之斜率可知。

我們的主要目的在於如何將(1)式推廣至一般情形。首先同時也是自然而然地（在數學上 2 與 n 是沒有差別的）將(1)式推廣至 n 個點 x1,…,xn。（可用歸納法）

begin{displaymath}&10;f left( sum_{i=1}^n lambda_i x_i right)&10;leq sum_{i=1}^n lambda_i f(x_i)&10;eqno{(4)}&10;end{displaymath}


 

其中 $x_i in I$, $lambda_i geq 0$, $sum_{i=1}^n lambda_i=1$,$1leq ileq n$。有時候我們（有目的地）令

begin{displaymath}&10;lambda_i = frac{p_i}{sum_{j=1}^n p_j}&10;eqno{(5)}&10;end{displaymath}


 

則(4)式可改寫為

begin{displaymath}&10;f left( frac{sum_{i=1}^np_ix_i}{sum_{j=1}^np_j} right)&10;leq frac{sum_{i=1}^np_if(x_i)}{sum_{j=1}^np_j}&10;eqno{(6)}&10;end{displaymath}


 

這就是 Jensen 不等式之一形式。若取特殊的 pi，例如：

begin{displaymath}&10;p_i=1,quad i=1,2,cdots,n&10;end{displaymath}


 

則(6)式可表為

begin{displaymath}&10;f left( frac{sum_{i=1}^nx_i}{n} right)&10;leq frac{1}{n}sum_{i=1}^nf(x_i)&10;eqno{(7)}&10;end{displaymath}


 

典型的凸函數有底下的類型：

begin{displaymath}&10;f(x)=x^n,e^x,xlog x,-log x, quad n>1&10;\eqno{(8)}&10;\end{displaymath}


 

在尚未做進一步推廣前，Jensen 不等式最直接的應用就是幾何平均與算數平均之關係；讀者可自行練習

例題 1：（幾何-算數平均）試證
(a) $(prod_{i=1}^n a_i)^{frac{1}{n}}&10;leq frac{1}{n} sum_{i=1}^n a_i, quad a_i>0$
(b) $prod_{i=1}^n y_i^{alpha_i}&10;leq sum_{i=1}^n alpha_i y_i, quad&10;alpha_i>0, y_i>0, \sum_{i=1}^n \alpha_i = 1$
三、Jensen 不等式的意義

我們感興趣的問題是關於 Jensen 不等式(6)式或(7)式之幾何意義與物理意義，首先介紹質量中心：

假設平面上有 n 個點且它們皆有相同之質量，其位置向量為 $vec{alpha}_i$，$1leq ileq n$，則質量中心之位置向量為

begin{displaymath}&10;vec{c} = frac{1}{n} sum_{i=1}^n vec{alpha}_i&10;eqno{(9)}&10;end{displaymath}

或

begin{displaymath}&10;sum_{i=1}^n(vec{alpha}_i - vec{c} , )=0&10;end{displaymath}

這意思是從 $vec{c}$ 點到各點之向量彼此互相抵消。


凸函數、Jensen 不等式與 Legendre 變換 - hlwyjsh - 淡定
圖三

我們可以這麼想像：在每一點 $vec{alpha}_i$ 為一釘有木樁而後用一條橡皮筋連接各點 $vec{alpha}_i$。則如此可形成一多邊形 H（陰影區域）而這就是 ${vec{alpha}_1 cdots vec{alpha}_n }$ 的「凸包」(convex hull)。


凸函數、Jensen 不等式與 Legendre 變換 - hlwyjsh - 淡定
圖四

質量中心(9)式告訴我們的就是

begin{displaymath}&10;vec{c} mbox{ {fontfamily{cwM1}fontseries{m}selectfont ...&10;...amily{cwM0}fontseries{m}selectfont char 125})}&10;eqno{(10)}&10;end{displaymath}

這點可由圖形直觀而得。通過任意一點 P，P 在該集合之外部，我們可劃一直線 L 使得 H 及其所圍區域完全落在 L 之一邊。當然這些向量不可能互相抵消，因為它們在法向量 $vec{n}$ 上均有正的分量。

註：上面所談的這個概念其實就是泛函分析中 Banach Separation 定理之一雛形。

有了這個預備工作之後，我們回到原來的點：

begin{displaymath}&10;(x_1,f(x_1))cdots (x_n,f(x_n)), quad x_1leq x_2leqcdotsleq x_n&10;end{displaymath}


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圖五

令 K = {(x,f(x))} 為函數 f 之圖形 (graph)，同時我們也連接兩端點 (x1,f(x1)),(xn,f(xn))，則由質量中心為

begin{displaymath}&10;vec{c} =&10;left( frac{sum_{i=1}^nx_i}{n},frac{sum_{i=1}^nf(x_i)}{n} right)&10;end{displaymath}

必定落在陰影區域 H 之內部，即

begin{displaymath}&10;f left( frac{sum_{i=1}^nx_i}{n} right)&10;leq frac{1}{n}sum_{i=1}^nf(x_i)&10;end{displaymath}

這就是(7)式，其意義為：質量中心 $vec{c}$ 必定在圖形 K 之上方。而通過 (x1,f(x1)),(xn,f(xn)) 兩點之弦方程式為

begin{displaymath}&10;y = g(x) = frac{f(x_n)-f(x_1)}{x_n-x_1}(x-x_1)+f(x_1)&10;eqno{(11)}&10;end{displaymath}

由圖形亦知

begin{displaymath}&10;frac{1}{n}sum_{i=1}^n f(x_i)&10;leq g left( frac{sum_{i=1}^n x_i}{n} right)&10;eqno{(12)}&10;end{displaymath}

而且對所有 $x in I=[x_1,x_n]$ 下式成立

begin{displaymath}&10;f(x)leq g(x)&10;eqno{(13)}&10;end{displaymath}

這個不等式我們可視為比較定理（Comparison 定理）最簡單的形式，而這在微分方程理論中扮演著舉足輕重的角色。比較(7)與(12)式，各等式要成立其充分必要條件為質量中心 $vec{c}$ 落在圖形 K 上，即

begin{displaymath}&10;vec{c}in K,quad&10;f left( frac{sum_{i=1}^nx_i}{n} right)&10;= frac{1}{n} sum_{i=1}^n f(x_i)&10;eqno{(14)}&10;end{displaymath}

這相當於

begin{displaymath}&10;x_1=x_2=cdots =x_n eqno (14)'&10;end{displaymath}

如果將 $frac{1}{n}$ 視為 xi 之機率分配（一致分配），則 Jensen 不等式(7)，也可以用機率的角度來看

begin{displaymath}&10;f(E(x))leq E(f(x))&10;eqno{(15)}&10;end{displaymath}

E 為期望值。

對於較一般的(6)式其意義仍是一樣的，即視 x1,…,xn 為 n 個點但其質量分別為 pi 而 $sum_{i=1}^np_i$ 為其總質量，故有

begin{displaymath}&10;f left( frac{sum_{i=1}^n p_i x_i}{sum_{j=1}^n p_j} right)&10;leq frac{sum_{i=1}^n p_i f(x_i)}{sum_{j=1}^n p_j}&10;end{displaymath}

若視 $p_i/sum_{j=1}^n p_j$ 為點 xi 之機率分配，則上式可以期望值之形式表達出來，其形式與(15)式同。

若仔細推敲，可知我們前面這些推導的過程中對維數 (dimension) 之依賴並不深，因此我們可自然地推廣至 n 維空間。例如設 z=f(x,y) 為一向上凹之曲面，則(7)式可推廣為

begin{displaymath}&10;f left( frac{sum_{i=1}^nx_i}{n},frac{sum_{i=1}^ny_i}{n} right)&10;leq frac{1}{n} sum_{i=1}^n f(x_i,y_i)&10;eqno{(16)}&10;end{displaymath}

或用向量之形式 $vec{x}_i=(x_i,y_i)$

begin{displaymath}&10;f left( frac{1}{n} sum_{i=1}^n vec{x}_i right)&10;leq frac{1}{n} sum_{i=1}^n f(vec{x}_i)&10;eqno (16)'&10;end{displaymath}

另一個方向的推廣則是想像粒子數目增加至無窮多個 $(n rightarrow infty)$，如此我們便可以從離散型過渡到連續型，表記如下：

begin{displaymath}&10;mbox{{fontfamily{cwM1}fontseries{m}selectfont char 127}...&10;...family{cwM0}fontseries{m}selectfont char 125}}&10;eqno{(17)}&10;end{displaymath}

這就是我們在數學上，尤其是分析學思想的過程而需要克服的問題──「收斂性」，即無窮級數或積分是否有意義（即是否收斂）。

在區間 [a,b] 我們可以取分割點

begin{displaymath}&10;x_k = a+frac{k}{n}(b-a),quad k=0,cdots ,n&10;eqno{(18)}&10;end{displaymath}

由(6)式知

begin{displaymath}&10;begin{eqalign}&10;lefteqn{f left( frac{p(x_0)varphi(x_0)+...&10;...))}{p(x_0)+p(x_1)+cdots+p(x_{n-1})}&10;end{eqalign} eqno{(19)}&10;end{displaymath}

將上式表為 Riemann 和之形式

begin{displaymath}&10;f left[ frac{sum p(x_k)varphi(x_k)bigtriangleup x_k}{s...&10;...bigtriangleup x_k}{sum p(x_k)bigtriangleup x_k}&10;eqno{(20)}&10;end{displaymath}

再取極限 $nrightarrowinfty$，我們就有積分形式的 Jensen 不等式。

定理（Jensen 不等式一）
若 p 滿足 $int_a^b p(x)dx > 0$，且 f 為一凸函數，則

begin{displaymath}&10;f left( frac{int_a^bp(x)varphi(x)dx}{int_a^bp(x)dx} ri...&10;...frac{int_a^bp(x)f(varphi(x))dx}{int_a^bp(x)dx}&10;eqno{(21)}&10;end{displaymath}

更一般情形則將區間 [a,b] 代換為任意可測集合 A ( $[a,b] rightarrow A$)

定理（Jensen 不等式二）

begin{displaymath}&10;f left( frac{int_A pvarphi dx}{int_A pdx} right)&10;leq frac{int_A pf(varphi)dx}{int_Apdx}&10;eqno{(22)}&10;end{displaymath}

讀者若有機率或測度 (measure) 之概念，則可將 p 視為一密度函數，故有

定理（Jensen 不等式三）

begin{displaymath}&10;f left( frac{int_A varphi du}{int_A du} right)&10;leq frac{int_A f(varphi)du}{int_A du}&10;eqno{(23)}&10;end{displaymath}

作個簡單的習題，其實就是例題 1 之推廣

例題 2： $alpha_i>0$, $xi_i>0$, $sum_{i=1}^{infty} alpha_i = 1$，試證

begin{displaymath}&10;prod_{i=1}^{infty} xi_i^{alpha_i}&10;leq sum_{i=1}^{infty} alpha_i xi_i .&10;end{displaymath}
四、Legendre 變換

關於 Jensen 不等式之證明，最簡單直接的方法就是用支撐線 (supporting line) 之概念，而這方法在 F. Riesz 寫給 Hardy 的信中（1930年）就曾提過關於幾何－算術平均不等式的證明，就是利用底下之不等式

begin{displaymath}&10;log tleq t-1, quad t>0&10;\eqno{(24)}&10;\end{displaymath}

這就是支撐線 (supportingline) 之概念。


凸函數、Jensen 不等式與 Legendre 變換 - hlwyjsh - 淡定
圖六

若 f 為區間 (0,1) 上的一個正的且可積函數，則由(24)式知 （ $t rightarrow f(x)/A(f)$）

begin{displaymath}&10;log frac{f(x)}{A(f)} leq frac{f(x)}{A(f)} - 1&10;end{displaymath}

其中 $A(f)=int_0^1 f(x)dx$ 為 f 之算數平均，將上式積分一次得

begin{displaymath}&10;int_0^1logfrac{f(x)}{A(f)}dxleqint_0^1frac{f(x)}{A(f)}dx-1=0&10;end{displaymath}

由對數函數之性質知

begin{displaymath}&10;int_0^1log f(x)dxleqlog A(f)=logint_0^1f(x)dx&10;end{displaymath}

或者表為

begin{displaymath}&10;begin{array}[t]{lcl}&10;{displaystyle exp big( int_0^1 lo...&10;...fontseries{m}selectfont char 204})}&10;end{array} eqno{(25)}&10;end{displaymath}

仿此精神我們證明 Jensen 不等式


凸函數、Jensen 不等式與 Legendre 變換 - hlwyjsh - 淡定
圖七

由圖形知 y=f(r)+m(x-r),m=f'(r) 為凸函數 f(x) 之支撐線 (supporting line)，即

begin{displaymath}&10;f(r)+m(x-r) leq f(x)&10;eqno{(26)}&10;end{displaymath}

現在取 r 為質量中心

begin{displaymath}&10;r=frac{int_A pvarphi dx}{int_A pdx}&10;eqno{(27)}&10;end{displaymath}

而 x 則取為 $varphi(x)$，則(26)式成為

begin{displaymath}&10;f(r)+m(varphi(x)-r)leq f(varphi(x))&10;end{displaymath}

兩邊同時乘 p 並積分得

begin{displaymath}&10;f(r)int_Apdx+m(int_Apvarphi dx-rint_Apdx)&10;leq int_Af(varphi)pdx&10;end{displaymath}

但由 r 之選法知

begin{displaymath}&10;int_Apvarphi dx-rint_Apdx=0&10;end{displaymath}

故得

begin{displaymath}&10;f(r)int_Apdxleqint_Af(varphi)pdx&10;end{displaymath}

這就是 Jensen 不等式。

在尚未作進一步論述之前，我們不禁要對 F. Riesz 的想法獻上我們的敬意。所謂的「好數學」便是以簡單的方法來解決困難的問題，而不是學了很深的數學然後再說 "Trivial" 簡單、容易。這基本土是對數學的無知。另外一門好的數學就是其本身有「將來性」，而非解完一個問題便壽終正寢。我們要特別強調的是 Riesz 所提支撐線的概念，實際上就是 Legendre 變換之化身。不失一般性可設函數上通過原點，f(0)=0 因此通過 (r,f(r)) 之切線方程式（即支撐線）為

begin{displaymath}&10;y = f'(r)(x-r)+f(r) = xf'(x)-[rf'(x)-f(r)]&10;eqno{(28)}&10;end{displaymath}

這式子告訴我們 (f'(r),f(r)-rf'(r)) 唯一決定點 (r,f(r)) 即這兩者之間可定義某種變換關係，而這就是我們要談的 Legendre 變換。在還沒有正式談 Legendre 變換之前，我們先看看(28)式之幾何意義。


凸函數、Jensen 不等式與 Legendre 變換 - hlwyjsh - 淡定
圖八

首先將切線平移為通過原點斜率為 f'(r) 之直線

begin{displaymath}&10;y=f'(r)x&10;eqno{(29)}&10;end{displaymath}

因此 [rf'(r)-f(r)] 為直線 y=f'(r)x 之 y 截距，由圖形可知其實

begin{displaymath}&10;rf'(r)-f(r)=max_x(f'(r)x-f(x))&10;eqno{(30)}&10;end{displaymath}

即直線 y=f'(r)x 與曲線 y=f(x) 相割後垂直距離最寬者，而這就是 Legendre 變換。記為

begin{displaymath}&10;f^*(p)=xp-f(x), quad p=f'(x)&10;eqno{(31)}&10;end{displaymath}

直接由(31)式，即 Legendre 變換之定義可得的就是 Young's 不等式

begin{displaymath}&10;xy leq f(x) + f^*(y)&10;eqno{(32)}&10;end{displaymath}

一般我們所熟知的形式為（利用 Jensen 不等式）

begin{displaymath}&10;begin{eqalign}&10;xy &= exp(log xy) &10;&= exp(frac{1}{p}...&10;...uad (frac{1}{p}+frac{1}{q}=1, p>1)&10;\end{eqalign} \eqno{(33)}&10;\end{displaymath}

有時候我們可略作變化

begin{displaymath}&10;x rightarrow epsilon^{frac{1}{p}}x ; , quad&10;y rightarrow epsilon^{-frac{1}{p}}y&10;end{displaymath}

則(33)式可改寫為

begin{displaymath}&10;xy leq epsilon frac{x^p}{p} + epsilon^{-frac{q}{p}} frac{y^q}{q}&10;eqno{(34)}&10;end{displaymath}

這個技巧在分析尤其是偏微分方程中是常用的。上面這些探討主要是告訴讀者 Legendre 變換之本質是支撐線 (supporting line) 而實際上就是 Young's 不等式的另一形式。除此之外，支撐線的概念也提供我們重新定義凸函數之方法：

定義： f 為一定義在區間 [a,b] 之一連續函數，若對任意的點 $xiin[a,b]$ 皆存在一相應之值 $lambda=lambda(xi)$，滿足下式

begin{displaymath}&10;f(xi)+lambda(x-xi)leq f(x)quad forall x in[a,b]&10;eqno{(35)}&10;end{displaymath}

則稱 f 為一凸函數。

這個定義可由 Taylor 展開式來看。f 在 ξ 點之 Taylor 展開式為

begin{displaymath}&10;f(x)=f(xi)+f'(xi)(x-xi)+f''(r)(x-xi)^2&10;eqno{(36)}&10;end{displaymath}

若 f 為一凸函數，則 f''>0 故有

begin{displaymath}&10;f(xi)+f'(xi)(x-xi) leq f(x)&10;end{displaymath}

因此通常(35)式中之 λ 是取 $lambda=f'(xi)$。
五、Jensen 不等式之應用

    
 
應用一

任給兩個正數 a,b，其 p 階平均為

begin{displaymath}&10;N_pequiv[theta a^p+(1-theta)b^p]^{frac{1}{p}}&10;eqno{(37)}&10;end{displaymath}

現在考慮函數 $f(x)=x^{frac{q}{p}}$,p<q，因為 $frac{q}{p}>1$，故 f 為一凸函數 (convex function)。因此由 Jensen 不等式知

begin{displaymath}&10;f(theta a^p+(1-theta)b^p)leqtheta f(a^p)+(1-theta)f(b^p)&10;end{displaymath}

即

begin{eqnarray*}[theta a^p+(1-theta)b^p]^{frac{q}{p}}&10;& leq & theta a^{p ...&10;...heta)b^{p cdot frac{q}{p}} &10;& = & theta a^q+(1-theta)b^q&10;end{eqnarray*}


故

begin{displaymath}&10;begin{eqalign}&10;N_p & = [theta a^p+(1-theta)b^p]^{frac{1}...&10;...a^q+(1-theta)b^q]^{frac{1}{q}}=N_q&10;end{eqalign} eqno{(38)}&10;end{displaymath}

即如果將 Np 視為 p 之函數，則 Np 為 p 之增函數。同理可得積分形式的 p 階平均：

begin{displaymath}&10;N_p[f] equiv Big( frac{1}{vertOmegavert}int_{Omega}...&10;...fvert^p Big)^{frac{1}{p}},&10;quad 0<vertOmegavert<infty&10;end{displaymath}

則

begin{displaymath}&10;N_{p1}[f]leq N_{p2}[f], quad P_1<p_2&10;eqno{(39)}&10;end{displaymath}

其中 $vertOmegavert$ 表示 Ω 之面積或體積。讀者若有實變函數論的觀念，則(39)式所表示的函數空間之關係為

begin{displaymath}&10;L^{p2}(Omega)subseteq L^{p1}(Omega), ; frac{1}{p_2}leqfrac{1}{p_1}, ;&10;vertOmegavert<infty eqno{(40)}&10;end{displaymath}

其中函數空間 $L^P (Omega)$ 表示 p 次方後可積分之函數所形成之集合

begin{displaymath}&10;L^P (Omega)= Big{ f bigvert int_{Omega}vert fvert^P dx < infty Big}&10;eqno{(41)}&10;end{displaymath}

要特別叮嚀的是(40)式之關係，只有在 $vertOmegavert<infty$ 之條件下才成立，因為此時質量中心才有定義。

   
 
應用二

凸函數在二維或更高維數的空間，例如複變函數，所對應的便是次調合函數 (subharmonic function)

begin{displaymath}&10;triangle ugeq 0&10;eqno{(42)}&10;end{displaymath}

對於此類函數具有非常重要地位的平均值不等式 (mean-value inequality) 為

begin{displaymath}&10;begin{eqalign}&10;u(y) & leq frac{1}{n omega_n R^{n-1}}int...&10;...c{1}{omega_n R^n}int_{B_R (y)}u dx&10;end{eqalign} eqno{(43)}&10;end{displaymath}

BR (y) 表示以 y 為圓心，半徑為 R 之 n 維球， $partial B_R(y)$ 則表示其球面，$omega_n$ 為 n 維單位球之體積。(43)式實際上就是 Jensen 不等式之一特例，但要特別叮嚀的是(41)式之積分區域務必要取均勻的球 BR (y) 或球面 $partial B_R(y)$，因為此時 y 是 BR (y) 或 $partial B_R(y)$ 的質量中心。由(43)式可推得最大值原理 (maximum principle)。

定理最大值原理（maximum principle）：
$u in C^2 (Omega) cap C^0 (overline{Omega})$, $Delta u geq 0$，則

begin{displaymath}&10;max_{overline{Omega}}u=max_{partialOmega}u&10;eqno{(44)}&10;end{displaymath}

這定理告訴我們一個定義在有界區域 Ω 之次調合函數，其最大值必定發生在邊界 $partialOmega$ 上。關於這件事實，我們亦可以凸函數之性質來想像。讀者可參考底下之圖形


凸函數、Jensen 不等式與 Legendre 變換 - hlwyjsh - 淡定
圖九

另外在偏微分方程中的 Laplace 方程 $Delta u=0$，解之存在性證明方法中的 Perron 方法，也可由此角度來思考。


凸函數、Jensen 不等式與 Legendre 變換 - hlwyjsh - 淡定
圖十

  1. D. Gilbarg and N.S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, 2nd ed., Springer-Verlag (1983).
  2. G.H. Hardy, J.E. Littlewood and G. Pólya, Inequalities, Cambridge University Press, Cambridge (1952).
  3. Fritz John, Partial Differential Equations, 4th ed., Appl. Math. Sci., 1, Springer-Verlag (1982).
  4. T. Needham, A Visual Explanation of Jensen's Inequality, American Math. Monthly 100, 768-771 (1993).

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