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Leibniz 如何想出微積分？

2008-08-03 10:35:13| 分类：数学 | 标签： |举报 |字号大中小订阅

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Leibniz 如何想出微積分？

蔡聰明

一、引言

Leibniz（1646～1716）在1714年發表一篇文章叫做 "Historia et origo calculi differentialis"（即《微分學的歷史與根源》），簡述他發明微積分的整個故事，開頭就這樣寫著：

對於值得稱頌的發明，了解其發明的真正根源與想法是很有用的，尤其是面對那些並非偶然的，而是經過深思熟慮而得的發明。展示發明的根源不光只是作為歷史來了解或是鼓舞其他人，更重要的是透過漂亮的發明實例，可以增進吾人發明的藝術，並且發明的方法也可公諸於世。當代最珍貴的發明之一就是一門新的數學分析叫做微分學的誕生。它的內涵已有足夠的解說，但是它的根源與動機卻少為人所知悉。它的發明幾乎已經有四十年的歷史了……。

然後 Leibniz 說出他發明微積分的根源就是差和分學。在他的一生當中，總是不厭其煩地解釋著這件得意的傑作。差和分與微積分之間的類推關係，恆是 Leibniz 思想的核心。從他的眼光看來，兩者在本質上是相同的。一方面，差和分對付的是離散的有限多個有限數；另一方面，微積分對付的是連續地無窮多個無窮小。因此，微積分若少了差和分就好像「Hamlet」劇本少了丹麥王子一樣。

二、生平簡述

Leibniz 在 1646 年誕生於德國的 Leipzig（萊比錫）。他父親是萊比錫大學的法學與道德哲學的教授。當他 6 歲時，父親就去世了。因此少年的 Leibniz 在學習的路途上幾乎沒有人指引他。這個小男孩所有的就是父親留給他的一個書的世界。一位聰慧而早熟的孩子，在約 8 歲時就自學拉丁文，12歲時開始學希臘文。這使得他沒有什麼困難就可以使用父親遺留下來的豐富的圖書館。泡在書海中，使他獲得了廣泛的古典作品之知識。他有能力閱讀幾乎所有的書，閱讀變成終身的興趣，這使他也讀了大量的壞書。後來 Leibniz 寫道：

當我還很年輕時，就開始認真思考各種問題。在15歲之前，我常常獨自一個人到森林中去散步，比較並且對照 Aristotle 與 Democritus 的學說。

Leibniz 在15歲時進入萊比錫大學就讀，選讀了宗教、哲學及初等算術，也聽了歐氏幾何的課，不過對幾何他並沒有投入。他試圖自己研讀 Descartes 的解析幾何學，但是對他來說似乎難一點。在17歲時，他提出一篇哲學論文，而得到學士學位。那年夏天他到 Jena 大學參加數學班，然後又回萊比錫大學攻讀邏輯、哲學與法律，次年就得到碩士學位。20歲寫出一篇優秀的組合學論文，但是由於他太年輕以致於萊比錫大學拒絕頒授給他博士學位。於是他轉到 Nuremberg 的 Altdorf 大學，並且在1667年（21歲）得到哲學博士學位。

完成學院工作後，他進入政治界，服務於 Mainz 政府。在1672年到1676年這段期間，由於外交任務的關係，他被派往法國的巴黎。在巴黎他遇到了當時歐洲大陸最有學問的 Huygens（1629～1695），激起他對數學的熱情，並且創造了微積分，使得在巴黎的四年成為他一生當中數學原創性的顛峰時期 (the prime age of creation)，比美於 Newton 的1664～1666年這段時間。

Leibniz 在1680年給朋友的信裡，回憶他在1673年於巴黎遇到 Huygens 時所受到的啟發，他說：

那時我幾乎沒有多少時間研讀幾何。Huygens 給我一本他剛出版的關於單擺的著作。當時我對於 Descartes（笛卡兒）的解析幾何與求面積的無窮小論證法一無所知，我甚至不知道重心的定義。事實上，有一次跟 Huygens 討論時，我誤以為通過重心的任何直線必將面積平分為二，因為這對於正方形、圓形、橢圓形以及其它某些圖形顯然都成立。聽到我的話，Huygens 開始笑了起來，他告訴我沒有什麼東西能夠超越真理的。受到這個啟發，我非常興奮，在未徹底讀過歐氏幾何的情況下，我開始研讀高等幾何……。 Huygens 認為我是一個好的幾何學家，比我自估的還要好。他又交給我 Pascal 的著作，要我研讀。從中我學到了無窮小論證法、不可分割法以及重心的求法。

巴斯卡的著作給 Leibniz 打開了一個新世界，讓他靈光一閃，突然悟到了一些道理，逐漸地經營出他的微積分理論。

Leibniz 在1676年回到德國，於 Hanover 地方當政府的顧問與圖書館長，長達四十年之久。雖然他的職業是律師與外交官，但是他多才多藝，對各方面的學問都有極濃厚的興趣，並且以哲學家的身份聞名於世。由於他的極力鼓吹，柏林科學院才得以在1700年成立。

三、偉大的夢想

Leibniz 曾回憶說：

我小時候學邏輯，就開始養成對所學的東西作挖深的思考習慣。

他一生持久而不變的目標是追尋一種普遍的語言 (universal language) 與普遍的方法，使得可以統合地處理各式各樣的問題。研究 Leibniz 的學者 J.E. Hofmann（1899～1972）說：

Leibniz 熱情地，全心全力地收集與吸收能夠到手的所有知識，然後給予新的大綜合 (grand new synthesis)，變成統一的整體。

Leibniz說：

我有滿腦子的主意 (ideas)，如果能有更厲害的人深入去經營，將他們美妙的靈心與我的勞苦結合起來，會是很有用的。

他在1666年（當時20歲）寫出《組合學的藝術》(Art of combinatorics) 之論文。在前言中他預測這門新知識可以延拓應用到邏輯、歷史、倫理學、形上學，乃至整個科學。他又說：

假設我們可以用一些基本的字來表達人類的思想，因此可以想像有一系列的字，各代表了簡單的概念，那麼任何複雜的概念都可以用這些字組合起來。從而奇妙的「發明術」(the Art of invention) 就變成可能了：即所有可能的概念與命題都可以機械地產生。據此我們不但可以探討已知，而且也可以追尋未知，進一步從事更深刻的研究。

這個美麗的夢想在 Leibniz 心中盤據了一輩子。事實上，這只是古希臘哲學家 Dmocritus 所創立的原子論 (atomism) 的延伸與翻版。Democritus 主張宇宙的森羅萬象最終都可以化約成原子及其在空間中的運動、排列與組合，這是多麼美妙的想像。除了在物理學與化學上產生深遠的影響之外，在方法論 (methodology) 上，也開啟了分析與綜合的方法。追究事物的組成要素就是分析法，反過來由組成要素組合出事物就是綜合法。孫子在他的兵法中，說得更生動：

聲不過五，五聲之變，不可勝聽也；
色不過五，五色之變，不可勝觀也；
味不過五，五味之變，不可勝嘗也；
戰勢不過奇正，奇正之變，不可勝窮也；
奇正相生，如循環之無端，熟能窮之哉！

Leibniz 也夢想著要建立一套普遍的數學，他稱之為「Characteristica Universalis」，使得思想也可以化約成計算。他解釋說：

如果有了這樣的數學，那麼我們探討形上學與道德規範時，就可以如同幾何學與分析學之論證推理一般。兩個哲學家萬一發生意見衝突，他們的爭吵就不會嚴重過兩個會計員，這時只需拿起筆，平心靜氣地坐下來，然後互相說（必要的話可找個證人）：讓我們計算一下。

Leibniz 對於發明術一直深感興趣，他說：

沒有什麼東西比看出發明的根源更重要，我認為這比發明出來的東西更有趣。

他計劃寫一本書來探討發明術，可惜從未實現。發明術也許只是人類永遠無法實現的一個夢想，好像是往昔的煉金術（發財夢）、煉丹術（長生夢）、永動機夢、煉預測未來術，以及近年來的煉基因術 (algeny) 一樣。人類需要有夢想，今日所證實的，也許就是過去的夢想。煉金術與煉丹術促成了化學的誕生，而煉發明術呢？它也產生了非常豐富的成果，例如認知科學 (cognitive science)、發明的心理學、人工智慧，大腦的思考機制之研究，Polya（1888～1985）關於數學的解題 (problem solving) 與猜測式推理 (plausible reasoning) 之精闢研究，以及近代科學哲學 (philosophy of science) 一改以往只重科學知識的「邏輯驗證」(the logic of justification) 而變成以「發現的理路」(the logic of discovery)為中心，專注於知識的成長與演化機制 (the growth and evolutional problem) 之探討，科學革命的結構之研究 (Thomas Kuhn)……等等。

Leibniz認為：

世界上的所有事情，都按數學的規律來發生。

這種深刻的「自然的數學觀」比美於 Galileo（1564～1642）的名言：「自然之書是用數學語言來書寫的」。據此，Leibniz 提倡世界的先定和諧論 (pre-estabilished harmony)，並且論證這個世界是所有可能世界中最好的一個 (the best of all possible worlds)，這是極值問題的一個應用。Einstein（1879～1955）說：

渴望窺探這個先定和諧的自然結構，是科學家不竭的毅力與恆心的泉源。

Leibniz 更有一顆敏銳的「妙悟靈心」，他早年就對這個世界感到驚奇而問道：

為什麼是存有而不是沒有呢？
(Why is there something instead of nothing?)

接著再問：

那裡存在的是什麼？
(What is there?)

對這些玄奧飄渺的問題深具興趣，正是「哲學心靈」的明證。古人提出了許多答案，例如原子論，畢氏學派的萬有皆數……等等。Leibniz 提出了單子論 (the theory of monads)，單子是構成宇宙的至微單位，反映著大千世界，這恰是微積分中無窮小概念的抽象翻版。

在方法論 (methodology)上，Leibniz 強調充足理由原理 (the principle of sufficient reason)：沒有東西是沒有理由的 (nothing is without reason)；以及連續性原理 (the principle of continuity)，他說：

沒有東西是突然發生的，自然不作飛躍，這是我的一大信條。

連續性原理有廣泛的解釋，例如從差和分連續化變成微積分就是一個好例子。另外，數學家 Cauchy（1789～1857）根據連續性原理宣稱，連續函數列的極限函數仍然是連續的，並且給出了一個錯誤的證明。後來才發現「均勻收斂」(uniform convergence) 必足以保證極限函數之連續性。

四、差和分學：從 Pascal 三角到 Leibniz 三角

在1672年春天，Leibniz 抵達巴黎，他的第一個成就是發現求和可以用求差來計算，即用減法可以求算加法。後來他曾描述他為何會想到差分以及差分的差分（即二階差分）等等的概念，並且強調差分扮演著他的所有數學思想的主角。在邏輯中，他徹底地分析真理，發現終究可化約成兩件事：定義與恆真語句 (indentical truths)。反過來，由恆真語句就可推導出豐碩的結果。他舉數列為例來展示：由 A=A 或 A-A=0 出發，可得

A-A + B-B + C-C + D-D + E-E = 0

即 A - (A-B) - (B-C) - (C-D) - (D-E) - E = 0

令 A-B=K, B-C=L, C-D=M, D-E=N,

則得

$begin{eqnarray*}&10;& A-K-L-M-N-E=0 &10;& K+L+M+N=A-E&10;end{eqnarray*}$

亦即差之和等於第一項與最後一項之差。

換言之，給一個數列 v=(v_k)，考慮接續兩項之間的差

v_k+1-v_k=u_k

所成的數列 u=(u_k)，叫做（右）差分數列（還有左差分，同理可討論），那麼顯然有

$begin{eqnarray*}&10;sum^n_{k=1}u_k&10;&=& (v_{n+1} - v_n) + (v_n - v_{n-1}) + ldots + (v_2-v_1) &10;&=& v_{n+1}-v_1&10;end{eqnarray*}$

採用登山的解釋就很明白了：想像山路鋪成台階，每一階相對於地面的高度為 v₁, v₂, $ldots$ , v_n+1，而階差高度為 u₁, u₂, $ldots$ , u_n，那麼從甲地登到乙地共昇高

$begin{displaymath}u_1+u_2+ldots+u_n=sum^n_{k=1}u_kend{displaymath}$

另一方面這又等於 v_n+1-v₁，參見下圖 1。

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圖1

例子：考慮立方數列及其各階差分數列：

$begin{displaymath}begin{array}{rrrrrrrr}&10;0 & 1 & 8 & 27 & 64 & 125 & 216 & ld...&10;... 6 & 6 & ldots &10;& & & & 0 & 0 & 0 & ldots &10;end{array}end{displaymath}$

由此我們立即讀出

1+7+19+37+61=125-0=125,

7+19+37+61+91=216-1=215,

6+12+18+24+30=91-1=90,

12+18+24+30=91-7=84。

Leibniz 發現這個規律，覺得非常新奇、美妙，像小孩子玩積木一樣興奮不已。進一步，他研究 Pascal 三角（1654年，又叫算術三角）。Pascal 三角是作為開方、二項式展開、排列組合與機率之用，參見[2]，Leibniz 卻從中玩索出差和分的道理。下面我們列出 Pascal 三角常見的三種排法：

(I)

$begin{displaymath}begin{array}{ccccccccccc}&10;& & & & & 1 & & & & & &10;& & & ...&10;...ldots&ldots&ldots&ldots&ldots&ldots&ldots&10;end{array}end{displaymath}$

(II)

$begin{displaymath}begin{array}{cccccc}&10;1 & & & & & &10;1 & 1 & & & & &10;1 & 2...&10;... 1 &10;dots&ldots&ldots&ldots&ldots&ldots &10;end{array}end{displaymath}$

(III)

$begin{displaymath}&10;begin{array}{llllllll}&10;1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & ldots & 1m...&10;...vdots&vdots&vdots&vdots&vdots&vdots&vdots &10;end{array}end{displaymath}$

: 問題：請說明上述 Pascal 三角的構成法。

在(II)的排列法中，斜對角線上的數相加，所得到的數恰好構成費氏數列(Fibonacci sequence)：

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

這個數列含有許多美妙的性質，我們不預備講述。

由(III)的排列法中，Leibniz 立即讀出許多關於行或列求和的結果，例如

3+6+10+15 = (4-1) + (10-4) + (20-10) + (35-20) = 35-1 = 34

同理

10+20+35+56=126-5=121。

Leibniz 在巴黎遇到 Huygens 時，對 Huygens 描述他用求差來求和的結果，Huygens 立即建議他做下面富於挑戰性的問題。

問題：（Huygens 問題）

求無窮級數之和

$begin{displaymath}sum^infty_{k=1}{2over k(k+1)}={1over 1}+{1over 3}+cdots+{1over&10;{k(k+1)/2}}+cdots eqno(1)end{displaymath}$

這個問題涉及無窮多項的相加，它源自計算某種賭局 (a game of chance) 的機率。

這個級數每一項的分母恰是畢氏學派「形數」(figurate numbers) 中的三角形數：

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因此，級數(1)就是三角形數的倒數之和。Leibniz 立即就求得這個和：因為

$begin{displaymath}{2over k(k+1)}={2over k}-{2over k+1}end{displaymath}$

所以首 n 項之和為

$begin{displaymath}S_n=sum^n_{k=1}{2over k(k+1)}&10;=sum^n_{k=1}({2over k}-{2over k+1})&10;=2-{2over n+1} end{displaymath}$

從而

$begin{displaymath}&10;sum^infty_{k=1}{2over k(k+1)}=lim_{nto infty}(2-{2over n+1})=2 .&10;end{displaymath}$

我們在機率史的文獻上查不到 Huygens 的機率問題，不過我們倒有下面相關的例子：一個袋子裝有一個白球及一個黑球，從中任取一個球，若得白球就停止；若得黑球，則再填加一個黑球到袋中，變成兩黑一白，再任取一球，若得白球就停止；若又得黑球，則再添加一個黑球到袋中，變成三黑一白，如此繼續下去，那麼第一回合得白球的機率為 ${1over 2}$ ，第二回合得白球的機率為 ${1over 2}times{1over 3}$ ，第三回合得白球的機率為 ${1over 2}times{2over 3}times{1over 4}={1over&10;3}times{1over 4}$ , … 等等，故終究得白球的機率為

$begin{displaymath}&10;{1over 2} + {1over 2times3} + {1over 3times 4} + cdots + {1over k(k+1)} + cdots = 1 .&10;end{displaymath}$

Leibniz 解決了 Huygens 問題後，進一步模仿 Pascal 三角，建構一個今日所謂的「調和三角」(harmonic triangle) 或 Leibniz 三角，一口氣解決了更多求無窮級數和的問題。

調和三角是這樣做成的：第一行排上調和數列，第二行依次排上第一行的前項減去後項之差，以後就按此要領做下去，結果如下：

$begin{displaymath}begin{array}{rrrrrrrr}&10;1over 1 & 1over 2 & 1over 3 & 1ov...&10;...105 & cdots &&&& &10;vdots&vdots&vdots&&&&& &10;end{array}end{displaymath}$

由此調和三角可以讀出

$begin{displaymath}{1over 2}+{1over 6}+{1over 12}+{1over 20}+{1over 30}+cdots=1end{displaymath}$

從而 Huygens 問題的答案是

$begin{displaymath}{2over 2}+{2over 6}+{2over 12}+{2over 20}+cdots+{2over&10;k(k+1)}+cdots=2end{displaymath}$

另外我們也可以讀出

$begin{displaymath}{1over 3}+{1over 12}+{1over 30}+{1over 60}+cdots={1over 2}eqno(2)end{displaymath}$

$begin{displaymath}{1over 4}+{1over 20}+{1over 60}+{1over 140}+cdots={1over 3}eqno(3)end{displaymath}$

等等。將(2)式乘以 3 就得到角錐形數的倒數之和：

$begin{displaymath}{1over 1}+{1over 4}+{1over 10}+{1over 20}+cdots={3over 2}end{displaymath}$

將(3)式乘以4就得到

$begin{displaymath}{1over 1}+{1over 5}+{1over 15}+{1over 35}+cdots={4over3}end{displaymath}$

同理也可得

$begin{displaymath}{1over 1}+{1over 6}+{1over 21}+{1over 56}+{1over 126}+cdots={5over4}end{displaymath}$

Descartes 說得好：

由一個例子的考察，我們可以抽取出一條規律。
(From the consideration of an example we can form a rule.)

換言之，一個好的例子往往能夠反映出一般規律，即特殊孕育出普遍，或所謂的「一葉知秋」、「見微知著」的意思。我們由上述例子歸結出求和的共通模式 (pattern)：

定理 1：（差和分根本定理）

對於給定的一個數列 u=(u_n), n=1,2, …，如果可以找到另一個數列 v=(v_n)，使得

u_n=v_n+1-v_n

那麼就有

$begin{displaymath}sum^b_{n=a}u_n=v_{b+1}-v_a eqno(4)end{displaymath}$

其中 $a,b in N$ 且 a<b。

我們引入適當的概念與記號：

: 定義：設 c=(c_n) 為一個數列，令數列 $Delta c$ 為 $(Delta c)_n=c_{n+1}-c_n$ （簡記為 $Delta c_n$ ）。
我們稱 $Delta c$ 為數列 c 的（第一階）差分，Δ 為差分算子。 $sumlimits^b_{n=a}c_n$ 叫做定和分（簡稱和分）。

因此，定理1 引出了兩個基本問題：

: (i)研究差分算子 Δ 在運算上的基本性質。
: (ii)已知一個數列 u=(u_n)，求另一個數列 v=(v_n) 使得 $u=Delta v$ 。

第一個問題很容易，在此從略。其次，利用(i)，第二個問題原則上也不難。在 $u=Delta v$ 中，我們稱 v 為 u 的反差分數列或不定和分。事實上，已知數列 u=(u_k), k=1,2, … 定義一個新數列 b=(b_n) 如下：

$begin{displaymath}b_n=sum^{n-1}_{k=1}u_keqno(5)end{displaymath}$

則易驗知 b=(b_n) 滿足

$begin{displaymath}u=Delta bend{displaymath}$

換言之，b=(b_n) 就是 u=(u_n) 的一個不定和分。顯然，u 的不定和分不唯一，可以無窮多個（例如(5)式再加上任意常數都還是 u 的不定和分），但是任何兩個不定和分只差個常數。

對這一切作深入而有系統的研究就是差和分學的內容（包括差分方程）。差和分的學習對於微積分的了解非常有助益，因為兩者不過是離散與連續之間的類推與觀照而已。離散的差和分簡單明瞭，再連續化就得到了微積分。一般微積分教科書往往有如下的缺點：忽略差和分學，或類推與連續化處理得不好。

五、Leibniz 如何看出微積分學根本定理？

甲. 從差分到微分

考慮函數 $y=F(x), xin [a,b]$ , 作 [a, b] 的分割

$begin{displaymath}a=x_1<x_2<cdots<x_{n+1}=bend{displaymath}$

得到差分 $Delta x_k!=!x_{k+1}!-!x_k$ 與 $Delta F(x_k)=F(x_{k+1})-F(x_k)$ , $k = 1, cdots, n$ 。Leibniz 想像（或根據他的連續性原理，principle of continuity），讓分割越來越細密，乃至作無窮步驟的分割，使每一小段都變成無窮小 (infinitesimal)，於是差分 $Delta x_k$ 變成微分 dx（Δ 改為 d 且丟棄指標 k），其中 dx 表示無窮小，它不等於 0 並且要多小就有多小。從而差分 $Delta F(x_k)=F(x_{k+1})-F(x_k)$ 變成微分 dF(x) = F(x+dx) - F(x)，dF(x) 表示獨立變數 x 變化 dx 時，相應函數值的無窮小變化量。換言之，微分是差分在無窮小時之類推。

Leibniz 在1684年首次給出微分的概念與記號，以及如下的演算公式：

例 1. 設 F(x)=xⁿ 則 dF(x)=nx^n-1dx。

Leibniz 的論證是這樣的：

$begin{eqnarray*}&10;dF(x)&=&F(x+dx)-F(x) &10;&=&(x+dx)^n-x^n &10;&=&nx^{n-1}dx + _nC_2x^{n-2}(dx)^2+cdots+ _nC_n(dx)^n&10;end{eqnarray*}$

因為第二項之後都含有 dx 的高次項，這些都是比 dx 還高階的無窮小，棄之可也，所以

dF(x)=dxⁿ=nx^n-1dx .

特別地，

$begin{displaymath}&10;dx^3=3x^2dx, dx^2=2xdx .&10;end{displaymath}$

定理2.

設 u=u(x) 與 v=v(x) 為兩函數，a 與 c 為常數，則有

: (i) d(c)=0
: (ii) d(au)=adu
: (iii) $d(upm v)=dupm dv$
: (iv) $d(ucdot v)=udv+vdu$
: (v) $d({uover v})=displaystyle{vdu-udvover v^2}$

上述(iv)今日叫做 Leibniz 規則。

: 例2. 若 u=x^-n，則 du=-nx^-n-1dx，若 u=x^m/n，則 $du={mover&10;n}x^{(m/n)^-1}dx$ 。

只要知道一些基本函數的微分公式，透過定理 2 就可以求得更複雜函數的微分公式。這就是原子論「以簡御繁」的方法。微分的演算，在 Leibniz 之前都是個案的處理，之後就有了全盤系統化的處理辦法，這就是進步。

Leibniz 利用微分來求函數 v=v(x) 的極值，其方法是解方程式 dv=0。他也引入二階微分的概念與演算，並且利用二階微分 ddv=0 的條件來求反曲點 (point of inflection)。

乙. 從和分到積分

數列 u=(u_k) 與函數 $y=f(x), xin[a,b]$ ，都是「函數」，一個定義在自然數集 N 上，一個定義在區間 [a,b] 上，因此兩者分別是離散 (discreteness) 與連續 (continuity) 之間的類推。

和分 (summation) 探究數列的求和 $sumlimits^n_{k=1}!!u_k$ 問題，積分探求函數圖形在 [a, b] 之上所圍成的面積，見下圖 2。兩者具有密切的關係。

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圖2

首先觀察到，和分可以解釋為下面圖 3 之柱狀圖的面積。

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圖3

其次將函數 y = f(x) 離散化：作區間 [a, b] 的分割

$begin{displaymath}x_1=a<x_2<x_3<cdots<x_n<x_{n+1}=bend{displaymath}$

考慮和分 $sumlimits^n_{k=1}f(x_k)Delta x_k$ ，其幾何意義就是下圖 4 諸矩形所成的陰影面積，它是圖 2 的近似面積。

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圖4

現在想像將 [a, b] 分割成無窮多段的無窮小段 dx（即微分），想成是差分 $Delta x_k=x_{k+1}-x_k$ 的極致（參見圖 2），然後考慮無窮小矩形的面積 $f(x)cdot dx$ ，從 x=a 連續地累積到 x=b。這樣的求和跟和分有關但卻不同，為了區別起見 Leibniz 在1686年首度將記號 $sum$ 改為 $int$ 。理由是：S 表示求和 Sum 的第一個字母，將 S 稍微拉伸變成 $int$ ，表示連續地求和。因此，就用美妙的記號 $int^b_af(x)dx$ 來表示圖 2 陰影領域的面積，說成 f 在 [a, b] 上的積分。換言之，陰影領域的面積就是無窮多個無窮小矩形面積的連續求和，即定積分 (definite integral)。

Leibniz 進一步把積分 $int$ 看作是微分 d 的逆運算，例如由公式

$begin{displaymath}d({1over 3}x^3)=x^2dxend{displaymath}$

就得到

$begin{displaymath}int x^2dx=int d({1over 3}x^3)={1over 3}x^3 .end{displaymath}$

一般而言，

$begin{displaymath}int dF(x)=F(x) .end{displaymath}$

Leibniz 說：

像乘方與開方，和分與差分， $int$ 與 d 是互逆的。

丙. 從差和分根本定理到微積分根本定理

如何求算積分 $int^b_af(x)dx$ 呢？

這是一個千古大難題。Archimedes 利用窮盡法 (the method of exhaustion)，只會算出

$begin{displaymath}&10;int^a_0x^2dx={1over 3}a^3&10;end{displaymath}$

Cavalieri（1598～1647）利用不可分割法或無窮小法 (the method of indivisible and infinitesimal) 求得

$begin{displaymath}int^a_0x^ndx={1over n+1}a^{n+1},quad n=1,2,cdots,7end{displaymath}$

Fermat（1601～1665）利用動態窮盡法求得

$begin{displaymath}int^a_0x^{m/n}dx={nover m+n}a^{(m+n)/n}end{displaymath}$

這些都是個案解決，而且都算得相當辛苦。

Leibniz 有了微分與積分互逆的觀點，以及差和分根本定理，很快就看出「吾道一以貫之」的微積分根本定理，利用微分法普遍而系統地解決求積分的難題。這是微積分史，乃至人類文明史上的偉大時刻 (the great moment)。Leibniz 將他的發現在1693年發表。

考慮函數 $y=F(x), xin [a,b]$ 。作 [a, b] 的分割：

$begin{displaymath}a=x_1<x_2<x_3<cdots<x_n<x_{n+1}=bend{displaymath}$

由差和分根本定理知

$begin{displaymath}sum^n_{k=1}Delta F(x_k)=F(b)-F(a)eqno(6)end{displaymath}$

或者

$begin{displaymath}sum^n_{k=1}{Delta F(x_k)over Delta x_k}Delta&10;x_k=F(b)-F(a)eqno(7)end{displaymath}$

現在讓分割不斷加細，使每一小段都變成無窮小，將 Δ 改為 d， $sum$ 改為 $int$ （記號變形記），上下限指標改為 b,a，那麼(6)與(7)兩式就變形為

$begin{displaymath}int^b_adF(x)=F(b)-F(a)eqno(8)end{displaymath}$

$begin{displaymath}int^b_a{dF(x)over dx}dx=F(b)-F(a)eqno(9)end{displaymath}$

從而，欲求 $int^b_af(x)dx$ ，只要找到另一個函數 y=F(x)，使得

$begin{displaymath}{dF(x)over dx}=f(x)eqno(10)end{displaymath}$

那麼就有

$begin{displaymath}int^b_af(x)dx=int^b_a{dF(x)over dx}dx=F(b)-F(a)eqno(11)end{displaymath}$

Eureka! Eureka! 我們自然就得到微積分裡最重要的一個結果：

定理 3.微積分學根本定理

給一個函數 f，如果可以找到另一個函數 F 使得

$begin{displaymath}&10;{dF(x)over dx}=f(x)quad mbox{{fontfamily{cwM1}fontseries{m}selectfont char 67}}quad dF(x)=f(x)dx eqno(12)&10;end{displaymath}$

那麼就有

$begin{displaymath}int^b_af(x)dx=F(b)-F(a)equiv F(x)vert^b_aeqno(13)end{displaymath}$

這個定理完全是定理 2 的平行類推！我們稱(13)式為 Newton-Leibniz 公式，因為牛頓也獨立地發現它。今日我們還要求 f 為連續函數。

Leibniz 創造優秀的記號，透過差和分根本定理，「直觀地」就看出了微積分根本定理。Leibniz 說：

值得注意的是，記號幫忙我們發現真理，並且以最令人驚奇的方式減輕了心靈的負荷。

Leibniz 一生對記號非常講究。數學家 Laplace（1749～1827）也說：

數學有一半是記號的戰爭。

我們要強調，記號的適當創造與掌握，是掌握數學的要訣。下面將 Leibniz 所創造的記號作個對照表：

離散的差和分	連續的微積分
Δ	d
$sum$	$int$
x_k	x
$Delta x_k$	dx
$sum_k$	$int_a^bcdot dx$
${Delta F(x)over Delta x}$	${dF(x)over dx}$

在定理 3 中，赫然出現了 ${dF(x)over dx}$ 之記號，這是微積分裡頭的一個關鍵性概念。它代表什麼意義？如何定義？

首先讓我們來解釋它的幾何意義。 ${dF(x)over dx}$ 是由 ${Delta F(x_k)over Delta x_k}$ 的無窮小化得來的。顯然

$begin{displaymath}{Delta F(x_k)over Delta x_k}={{F(x_{k+1})-F(x_k)}over&10;{x_{k+1}-x_k}}end{displaymath}$

代表函數 y=F(x) 的圖形上，通過兩點 (x_k,F(x_k)) 與 (x_k+1,F(x_k+1)) 的割線斜率，參見圖 5。

$Leibniz 如何想出微積分？ - hlwyjsh - 淡定$

圖5

無窮小化後的 ${dF(x)over dx}$ 就是通過 (x, F(x)) 點的切線斜率，參見下圖 6。

$Leibniz 如何想出微積分？ - hlwyjsh - 淡定$

圖6

因此，求積分 $int^b_af(x)dx$ 從幾何觀點來看就是，找一條新的曲線 y=F(x)，使其切線斜率 ${dF(x)over dx}$ 為 f(x)，那麼 $int^b_af(x)dx$ 的答案就是 F(b)-F(a)。據此，Leibniz 也稱求積分為求反切線的問題 (the inverse tangent problem)。

下面考慮 ${dF(x)over dx}$ 的定義。按照上述的思路， ${dF(x)over dx}$ 當然定義成

$begin{displaymath}&10;{F(x+dx)-F(x)over dx} quad mbox{{fontfamily{cwM1}fontse...&10;...har 67}} quad lim_{Delta xto 0}{Delta F(x)over Delta x}&10;end{displaymath}$

其中 dx 代表 x 的「無窮小」變化量， $Delta F(x) = F(x+Delta x)-F(x)$ ，lim 表示取極限 (limit)。這分別代表無窮小論證法與極限論證法。後者是「以有涯逐無涯」的論證方式，即由割線斜率來探取切線斜率。有時 ${dF(x)over dx}$ 也記成 DF(x) 或 F'(x)。

由 F(x) 求出 ${dF(x)over dx}$ 叫做導微（動詞用）。 $dF(x)over dx$ 叫做 F(x) 的導函數 (derivative)。已知函數 f(x)，欲求另一個函數 F(x) 使得 ${dF(x)over dx}=f(x)$ ，是為微分的逆算。我們稱 F(x) 為 f(x) 的反導函數 (antiderivative)。因此，定理 3 告訴我們，欲求積分 $int^b_af(x)dx$ ，只要找到 f(x) 的反導函數 F(x)，那麼 F(b)-F(a) 就是答案了。這就是用微分法解決積分問題，普遍而可行的辦法。要點是，求反導函數並不太難。

如何求一個函數的導函數呢？

在做計算時，若採用無窮小論證法，就要記住無窮小詭譎的雙重性格：它不等於0，但是要多小就有多小。這樣看來，無窮小不是死的，而是活生生的小精靈。通常無窮小 dx 可正可負，即正無窮小與負無窮小，這種情形 dx 不等於 0，但其絕對值小於任意正實數。

例3. 考慮 F(x)=x³，則

$begin{eqnarray*}&10;frac{dF(x)}{dx}&=&frac{F(x+dx)-F(x)}{dx} &10;&=&frac{(x+dx)...&10;...+3x(dx)^2+(dx)^3over dx&10;&=&3x^2+3xcdot dx+(dx)^2&10;&=&3x^2&10;end{eqnarray*}$

（因為 dx 可任意小，故後兩項棄之可也。）

如果你對「無窮小」感到「不自在」，那麼我們也可以採用極限論證法：

$begin{eqnarray*}&10;DF(x)&=&lim_{Delta xrightarrow 0} frac{F(x + Delta x) - F...&10;... xrightarrow 0}(3x^2+3xcdot Delta x+(Delta x)^2) &10;&=&3x^2&10;end{eqnarray*}$

殊途同歸！在計算過程中，我們的論證是這樣的：由於 $Delta x not=0$ ，故可以從分子與分母消去；其次因為 ${Delta x}rightarrow 0$ ，故 $2x+Delta x rightarrow 2x$ 。這樣的論證其實跟無窮小論證法差不多。目前較通行是極限論證法。

事實上，極限概念有直觀（良知良能）的一面，也有深奧的一面（ $epsilon-delta$ 與 $epsilon-N$ 定式），真正要說清楚是相當費事的。留給正式微積分課去解說。

例4. 因為 $D({1over 3}x^3) = x^2$ ，故由 Newton-Leibniz 公式得

$begin{displaymath}&10;int^b_ax^2dx={1over 3}x^3 vert^b_a&10;={1over 3}b^3-{1over 3}a^3 .&10;end{displaymath}$

我們作一個很重要的觀察：

給一個數列 u，若數列 v 滿足 $Delta v =u$ ，我們就記為

$begin{displaymath}Delta^{-1}u=sum u=sum Delta v=vend{displaymath}$

而稱 $sum u$ 為 u 的不定和分，因而 $sum$ 與 Δ 互逆。這樣做非常方便，定和分只需附加上下限就好：

$begin{displaymath}&10;sum^n_{k=1}u_k=v_k vert^{k=n+1}_{k=1}=v_{n+1}-v_1 .&10;end{displaymath}$

同理，由

$begin{displaymath}&10;dF(x)=f(x)dx quad mbox{{fontfamily{cwM1}fontseries{m}selectfont char 67}} quad {dF(x)over dx}=f(x)&10;end{displaymath}$

我們就記為

$begin{displaymath}d^{-1}f(x)=int f(x)dx=int dF(x)=F(x)end{displaymath}$

而稱 $int f(x)dx$ 為 f 的不定積分 (indefinite integral)，因而 $int$ 與 d 互逆。再把上下限套上去就得到 Newton-Leibniz 公式：

$begin{displaymath}&10;int^b_af(x)dx=F(x)vert^b_a=F(b)-F(a) .&10;end{displaymath}$

六、結語

總之，微積分就是利用極限或無窮小來建立微分與積分，再透過微分的逆向運算（由 f 求 d^-1f）來求積分（面積、體積、表面積、曲線長、重心及里程等等），而微分的正向運算（由 F 求 dF 或 ${dFover dx}$ ）又可掌握住求切線、速度、密度、變化率及極值問題，甚至揭開了函數的結構之謎（Taylor 分析）。

微分法是非常鋒利的兩面刃，是人類破天荒的成就。S. Bochner 說得好：

微分是一個偉大的概念，它不但是分析學而且也是人類認知活動中最具創意的概念。沒有它，就沒有速度或加速度或動量，也沒有密度或電荷或任何其它密度，沒有位勢函數的梯度，從而沒有物理學中的位勢概念，沒有波動方程；沒有力學，沒有物理，沒有科技，什麼都沒有 ([8], p.276)。

: 1. C.H. Edwards, The Historical Development of the calculus, Springer-verlag, 1979, 凡異出版社有林聰源的中譯本。
: 2. A.W.F. Edwards, Pascal's Arithmetical Triangle, Oxford Univ $.$ Press, 1987。
: 3. Leibniz, Philosophical papers and letters, Ed. L.E. Loemker, Synthese Historical Library, 1976.
: 4. A. Weil, Review of Hofmann, Bull. Am. Math. Soc. 81, 676-688, 1975.
: 5. M.E. Baron, The origin of the infinitesimal calculus. New York: Dover, 1987. （初版1969）
: 6. T. Koetsier, Lakatos' philosophy of Mathematics, A Historical Approach, North-Holland, 1991.
: 7. D. Struik, A Source Book in Mathematics, 1200-1800, Harvard Univ. Press, 1969.
: 8. S. Bochner, The Role of Mathematics in the Rise of Science, Princeton Univ. Press (1966), Fourth Printing, 1981。
: 9. I Grattan-Guinness (editor), From the Calculus to Set Theory, 1630-1910, An Introductory History, Duckworth, 1980.
: 10. C. B. Boyer, The History of the Calculus and its Conceptual Development, Dover, 1959. (First Published in 1949)

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历史上的今天

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