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王思越

我们生活在一个永远不可能准确理解，但又不得不有个“合理”解释的世界中。

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轎車與山羊  

2008-08-03 09:37:30|  分类： 统计知识 |  标签： |举报 |字号大中小 订阅

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轎車與山羊

蔡聰明

機率論就是要對機運(chance)作數理研究的一門數學。在數學中，機率是一個較難掌握的概念，因為機運本是虛虛玄玄的。本文我們舉「轎車與山羊」的猜獎遊戲，來一窺機率式的思考與解題方法。

在電視裡，我們可以看到如下的「轎車與山羊」(the car and the goats) 之猜獎節目：有一部轎車與二隻山羊，分別關在三個房間內．由參賽者任選一個門。打開來如果是轎車，就獲得轎車的大獎；如果是山羊，就獲得小獎，牽回家牧養，當然，每個參賽者都想要得到大獎。

猜獎的程序一共有四個步驟，合成一個隨機實驗 (random experiment)：

  1. 首先由參賽者任何選定一個門，暫時先不要打開。

  2. 剩下兩個門由主持人打開其中一個，發現裡面是一隻山羊。

  3. 主持人對參賽者說：現在你有一次機會，可以「更換或不更換」剛才的選擇。

  4. 參賽者經過重新選擇之後，打開門來，謎底揭曉。

問題：在步驟(3)中，參賽者到底是更換或不更換較有利？何者獲大獎的機率較大？機率各是多少？


兩種論證 ，兩種答案

對於這個問題．基本上有兩種答案：

 
對外搜尋關鍵字：
．拉普拉斯
．坡里雅
．大數法則
．三門問題
 
更換或不更換並沒有差別

理由是，在決定要不要更換選擇時，面對的是一車一羊的兩個門，兩者機會均等，任選其一，得到大獎的機率為 $frac{1}{2}$，得到山羊的機率也是 $frac{1}{2}$，所以更換與否並沒有差別。

請讀者自己判斷，這個論證有道理嗎？更進一步，這個論證對嗎？

   
 
更換選擇較有利

首先，我們採取直觀的論證。我初選得到轎車的機率為 $frac{1}{3}$，得到山羊的機率為 $frac{2}{3}$，所以初選我有較大的可能沒有得到轎車。因此，在獲知主持人揭露了一個山羊房間時，大大降低不利的因素．我應該更換房間，這樣比較有利於獲得大獎。

進一步，我們更明確地論證：只有更換與不更換兩種窮盡的情況，其機率和為1，如果不更換的話，得到大獎的機率就是保持原先初選時的 $frac{1}{3}$。從而，更換選擇得到大獎的機率為 $1-frac{1}{3}=frac{2}{3}$，這是不更換的兩倍，當然是更換好！

順便我們也可以知道，上述第一段的論證是錯的，因為它「斷章取義」。只考慮第三步驟，而沒有考慮整個猜獎的過程。

隨機實驗的機率模型

為了採用嚴格的機率模型來處理「轎車與山羊」的問題，我們先介紹機率模型的概念。

機率論處理隨機現象的手法就是對隨機實驗建立機率模型，表現為機率空間 (probability space) (Ω、F、P)，其中 Ω 叫做樣本空間 (sample space)，代表隨機實驗所有可能的出現結果 (all possible outcomes)；F 是由 Ω 的一些子集合所構成，其元素叫做事件(events)；P 叫做機率測度 (probability measure)，用來度量每個事件 $A in F$ 的機率 P(A)。當然 $0 leq P(A) leq 1$，並且滿足一些基本的演算規則。

在機率空間的模型之下，施展機率演算 (calculus of probabilities)，求算一些有趣事件的機率，這就構成了機率論的主要內涵。

機率論起源於日常生活的各種賭局問題 (games of chance)，但是其概念與應用卻深深觸及哲學、數學、統計學、物理學與社會科學諸領域。

法國數學家拉普拉斯（Laplace, 1749～1827）稱讚機率論說：

由賭局引起的一門學問，居然會成為人類知識最重要的研究對象，這實在令人非常驚奇。

嚴格論證「轎車與山羊」問題

我們不妨將轎車所在的房間編為 1 號．其餘兩個含山羊的房間編為 2 號與 3 號（當然參賽者不知情）。

整個猜獎過程之隨機實驗，可能出現的一個結果可用一個四元數 (u,v,w,x) 來表現，其中 u 表示初選的房間號碼，v 表示主持人打開的含山羊的房間號碼，w 表示經過更換後的房間號碼，x 可取值「W」或「L」，分別表示最後打開房門時，「贏得」(win) 或「失去」(lose) 轎車。例如四元數 (1,2,3,L) 表示：我初選 1 號房間（轎車在裡面），主持人打開 2 號房間，我更換成 3 號房間，最後我失去轎車。

假設我們採取更換房間的策略，那麼上述隨機實驗的樣本空間為

begin{displaymath}&10;Omega = { (1,2,3,mbox{L}),(1,3,2,mbox{L}),(2,3,1,mbox{W}),(3,2,1,mbox{W}) }&10;end{displaymath}


 

如果我初選 1 號房間（含轎車），主持人可能打開 2 號或 3 號房間，我更換成 3 號或 2 號房間，於是我失去轎車，這是第一個及第二個樣本點的情形，如果我初選 2 號或 3 號房間（含山羊），主持人可能打開 3 號或 2 號房間，我更換成 1 號房間，於是我贏得轎車，這是第三個及第四個樣本點的情形。

其次考慮事件。贏得轎車的事件為

begin{displaymath}&10;A = { (2,3,1,mbox{W}),(3,2,1,mbox{W}) }&10;end{displaymath}


 

這相當於初選沒有選中轎車的事件。另外，失去轎車的事件為

begin{displaymath}&10;B = { (1,2,3,mbox{L}),(1,3,2,mbox{L}) }&10;end{displaymath}


 

這相當於初選就選中轎車的事件。

最後來到如何指定機率測度的問題。初選時，我「任意地」(at random) 選定一個房間，這表示我採用丟一個「三面骰子」（可用一個正常的六面骰子來模擬，但此骰子的兩個面是 1，兩個面是 2，兩個面是 3）的辦法來決定房間的號碼，這表示我選到任何一個房間的機率是 $frac{1}{3}$。

現在觀察 Ω 中的樣本點，我初選到 2 號房間只有一個樣本點 $(2,3,1,mbox{W})$，故應指定

begin{displaymath}&10;P{ (2,3,1,mbox{W}) } = frac{1}{3}&10;end{displaymath}


 

同理，

begin{displaymath}&10;Pbig{ (3,2,1,mbox{W}) big} = frac{1}{3}&10;end{displaymath}


 

但是，如果我初選到 1 號房間，對應有兩個樣本點 $(1,2,3,mbox{L})$ 與 $(1,3,2,mbox{L})$，故應指定

begin{displaymath}&10;P big[ { (1,2,3,mbox{L}),(1,3,2,mbox{L}) } big] = frac{1}{3}&10;end{displaymath}


 

我們注意到，若無進一步的假設，這兩個樣本點個別的機率並沒有唯一確定，這對於我們的問題沒有影響，事實上，這裡有自由空間，只需指定

begin{displaymath}&10;P{(1,2,3,mbox{L})}=p quad , quad P{(1,3,2,mbox{L})}=q&10;end{displaymath}


 

其中 $p,q geq 0$，且 $p+q = frac{1}{3}$ 就好了。

現在我們已經為隨機實驗建立了機率空間，這相當於物理學家為自然現象建立物理理論一樣。在這個機率模型之下，我們輕易就知道贏得轎車的機率為

begin{displaymath}&10;P(A)=frac{1}{3}+ frac{1}{3}= frac{2}{3}&10;end{displaymath}


 

失去轎車的機率為

begin{displaymath}&10;P(B)=frac{1}{3}&10;end{displaymath}


 

如果我們採取不更換房間的策略，結果又如何呢？

此時的樣本空間為

begin{displaymath}&10;Omega = big{ (1,2,1,mbox{W}),(1,3,1,mbox{W}),(2,3,2,mbox{L}),(3,2,3,mbox{L}) big}&10;end{displaymath}


 

仿上述的論證，我們可以求得失去轎車的機率為

begin{displaymath}&10;P{ (2,3,2,mbox{L}) + P(3,2,3,mbox{L}) } = frac{2}{3}&10;end{displaymath}


 

贏得轎車的機率為

begin{displaymath}&10;P big[ {(1,2,1,mbox{W}),(1,3,1,mbox{W})} big] = frac{1}{3}&10;end{displaymath}


 

結論是：更換選擇比較有利，並且更換而贏得轎車的機率為 $frac{2}{3}$，不更換只有 $frac{1}{3}$ 的機率。

習題：
仍然考慮「轎車與山羊」的問題，但這次改成四個房間，一部轎車，三隻山羊。我先「任意」選定一個房間（暫不打開），接著主持人「任意」打開一個山羊房間，我再「任意」更換至剩下的兩個房間之一，試求我贏得轎車的機率是多少？
 
結語

機率論研究含有不確定性（uncertainty, 說不準）的隨機現象，透過建立機率模型，以施展推理與計算，並且探索機率法則，在說不準中追求說得準的定律，這是一種如歐氏幾何演繹系統。

對於機率（不確定性）之謎，描述得最精彩的是文學家莎士比亞 (Shakespeare)，他說：

如果你能洞穿時間的種子，並且知道哪一粒會發芽，哪一粒不會。那麼請告訴我吧！

至於什麼是機率？自古以來，這是哲學家爭論不休的問題，例如這一粒種子發芽的機率為 0.23，明天下雨的機率為 30%，這些是什麼意思呢？

坡里雅(G. Polya) 講過如下的故事，醫生檢查過一位病人後搖搖頭說：「你的病情很嚴重，恐將會有三長兩短，據我所知，得到你這種病的人，十個人中只有一個人能夠存活（即存活的機率是0.1），」聽到這個壞消息，病人非常驚恐，醫生開始安慰病人說：「但是你有幸遇到我，因為在你之前已有九位病人被我醫死了，你是幸運的第十位，所以我一定能夠醫好你。」這是對機率的一種誤解。

每個人對機率的概念多少都有一點直觀的了解，但若進一步追問就會遇到困境。聖奧古斯丁（St. Augustine, 354～430）說：

什麼是時間？如果沒有人問，我是清楚的；但是有人一問，我要向他解釋，我就迷惑了。

機率的概念亦然，這是機率困惑人的地方，也是它迷人的所在，跟微積分的「無窮小」一樣，都具有深度與「正言若反」的多種性格。要初步洞明「什麼是機率」，必須透過「大數法則」 (the law of large numbers) 的眼光，這是較深刻的機率論所要探討的主題。

1.Richard Isaac,《The Pleasures of Probalility》. Springer Verlag,1995.
2.Anders Hald,《A History of Probability and Statistics and Their Applications before 1750》. John Wiley and Sons,1990.

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